Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"27 июля - 1 августа, 2026Суздаль, Россия |
Научный комитет: Федор Богомолов (Courant Institute, НИУ ВШЭ), Дмитрий Каледин (МИАН, НИУ ВШЭ), Константин Шрамов (МИАН, НИУ ВШЭ).
На курсе будут рассмотрены дискретные динамические системы, по большей части дифференцируемые. Будут введены основные типы возвращаемости для точек (предельная точка, неблуждающая, цепно-рекуррентная), понятия гиперболической и хаотической динамики, структурной устойчивости системы. Будут рассмотрены как классические задачи, так и открытые проблемы. Курс сопровождается большим количеством примеров.
The Minimal Model Program (MMP) utilizes three fundamental surgeries: divisorial contractions, flips, and Fano contractions to simplify varieties. In the context of surjective endomorphisms, the Equivariant Minimal Model Program (EMMP) is the natural analogue; however, since the EMMP does not hold in general, we propose the dynamical Iitaka fibration as a necessary "fourth surgery."
During this summer school, I will present topics covering: (I) the classification of surjective endomorphisms on surfaces; (II) EMMP; and (III) the dynamical Iitaka program.
Familiarity with GTM 52 (for I) and Kollar-Mori (for II and III) is expected.
Гладкая проективная поверхность называется поверхностью дель Пеццо, если её антиканонический дивизор обилен. Примерами поверхностей дель Пеццо являются проективная плоскость, а также гладкие квадрики и кубики в трёхмерном проективном пространстве. Основным инвариантом поверхностей дель Пеццо является степень --- квадрат антиканонического дивизора, который принимает целые значения от 9 до 1.
С каждой поверхностью дель Пеццо степени 6 и ниже связана конфигурация (-1)-кривых, которой соответствует двойственный граф. В свою очередь группой автоморфизмов этого графа является группа Вейля некоторой системы корней, зависящей от степени рассматриваемой поверхности дель Пеццо. Все эти объекты естественным образом возникают в задачах, связанных с изучением групп бирегулярных и бирациональных автоморфизмов рациональных поверхностей, а также геометрически рациональных поверхностей над произвольными полями. В лекциях я расскажу о разнообразных методах, возникающих при изучении этих задач.
Выбор бирациональной модели данного алгебраического многообразия в классе его бирациональной эквивалентности можно сравнить с выбором отмеченной точки на топологическом пространстве. Тогда рассмотрение группы бирациональных автоморфизмов данной модели слегка напоминает вычисление фундаментальной группы пространства с отмеченной точкой. Аналогом фундаментального группоида топологического пространства является группоид BirMor всех бирациональных отображений между многообразиями, бирационально изоморфными друг другу (но эти изоморфизмы не фиксированы). Оказывается, что группоид BirMori является "правильным" объектом для изучения в бирациональной геометрии. Мы попробуем описать BirMori в терминах порождающих и соотношений, затронем понятие "центральной модели", построим гомоморфизмы из BirMori в некоторые естественные группы и поймем, что они имеют глубокую геометрическую природу. В качестве приложения мы получим результаты о структуре группы Кремоны.