Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия"2 - 7 августа, 2025Суздаль, Россия |
Научный комитет: Федор Богомолов (Courant Institute, НИУ ВШЭ), Дмитрий Каледин (МИАН, НИУ ВШЭ), Константин Шрамов (МИАН, НИУ ВШЭ).
Абстракт: градиентно-подобные потоки -- это структурно-устойчивые потоки, с конечным неблуждающим множеством. Название класса обуславливается наличием для таких потоков энергетической функции -- функции Морса, строго убывающей вдоль траекторий потока, отличных от состояний равновесия, и имеющей критическую точку в каждом состоянии равновесия. Энергетическая функция, как и всякая функция Морса, определяет разбиение несущего многообразия на ручки. В курсе показывается, что инварианты этого разбиения (в частности, диаграмма Хегора трехмерного многообразия и диаграмма Кирби четырехмерного многообразия) могут быть определены из динамических свойств потока и определяют класс топологической эквивалентности потока. В то же время, существуют преобразования диаграммы Хегора и диаграммы Кирби потока, не меняющие топологии несущего многообразия и структуры множества состояний равновесия, приводящие к счетному множеству топологически неэквивалентных потоков.
Фильтрованные и синтетические спектры
Спектральная последовательность Адамса -- это спектральная
последовательность, которая берет на вход гомологий $h_*(X)$ некоторого
спектра X и -- при благоприятных обстоятельствах -- сходится к его
гомотопическим группам $\pi_*(X)$. Более детальный анализ конструкции
позволяет категорифицировать спектральную последовательность Адамса, то
есть получить так назваемую категорию синтетических спектров $Syn$. Про
категорию $Syn$ можно думать как про версию конструкции Артина-Риса, то
есть категория $Syn$ "вырождает" категорию спектров к некоторой чисто
алгебраической категории, кодирующей действие алгебры Стинрода на
гомологиях спектров.
Я расскажу про конструкцию синтетических спектров $Syn$, попробую
обозреть некоторые из приложений, а также про удивительную связь со
стабильной мотивной категорией Воеводского.
Я расскажу о классе комплексных Пуассоновых алгебраических многообразий, обладающих так называемыми симплектическими особенностями. Грубо говоря, это означает, что такие многообразия допускают симплектические разрешения особенностей. Эти объекты привлекательны тем, что они естественным образом возникают в алгебраической геометрии, математической физике и теории представлений. Мы обсудим примеры таких многообразий, квантований их алгебр функций, а также зеркальную симметрию между ними, понимаемую как двойственность между "Хиггсовой" и "Кулоновской" ветвями некоторых теорий, приходящих из физики (так называемых топологических квантовых теорий поля). Миникурс будет сосредоточен на различных конкретных примерах.
Число Пизо --- это целое алгебраическое число больше 1, все Галуа сопряженные которого строго меньше 1. Свойства таких чисел изучали с начала 20 века, а работы Пизо в 40-ых усилили интерес к ним, и оказалось, что они возникают во многих областях науки: в гармоническом анализе, эргодической теории и других. Числа Салема (целые алгебраические числа с похожим условием) тесно связаны с числами Пизо и часто возникают в схожих ситуациях. Оказывается, что в бирациональной геометрии числа Пизо и Салема тоже появляются как динамические характеристики бирациональных автоморфизмов поверхностей. Я расскажу о некоторых свойствах этих чисел, потом подробнее объясню, как они возникают при изучении автоморфизмов поверхностей и в конце расскажу о теореме Бланка и Канты об нижней грани множества чисел Салема, реализующихся на поверхностях.Я расскажу об описании центральных простых алгебр над локальными полями. Это описание позволяет доказать, что группа Брауэра локального поля изоморфна Q/Z. В завершение я расскажу о группах Брауэра числовых полей, а также о некоторых известных нерешенных проблемах из теории центральных простых алгебр.
A folklore conjecture asserts that a Fano manifold of Picard number one admitting a non-isomorphic surjective endomorphism must be the projective space. In the case of higher Picard number, an analogous conjecture proposed by Fakhruddin asserts that a smooth rationally connected projective variety admitting a polarized (or more generally, int-amplified) endomorphism must be toric. In these lectures, I will introduce the backgrounds, known results, as well as our recent progress and applications from the viewpoints of positivity of tangent bundles as well as the equivariant minimal model program. Based on several joint works.