Laboratory of algebraic geometry:
weekly seminar
Archive
January 13, 2012: Alexey Gorinov
Конические разрешения и применения к пространствам модулей
Многообразия, параметризующие особые объекты, как правило, сами особы и
устроены довольно сложно. Однако, как заметил В. Васильев, для таких многообразий
часто можно построить естественные полусимплициальные разрешения, т.е., гомотопически
эквивалентные им полусимплициальные многообразия с гладкими компонентами.
В докладе мы расскажем, как строить такие разрешения и опишем несколько примеров и
приложений к когомологиям пространств модулей кривых и к оценкам порядков групп
автоморфизмов гладких полных пересечений. В конце будут сформулированы гипотезы и
нерешенные вопросы.
January 20, 2012: Alexei Rosly
Когерентные пучки на комлексно-аналитических многообразиях и суперсвязности
Мы построим некоторое оснащение производной категории когерентных
пучков, которое приспособлено к изучению комплексно-аналитических
многообразий. Под оснащением понимается такая дифференциальная
градуированная категория, что соответствующая гомотопическая категория
эквивалентна производной категории (когерентных пучков в нашем случае).
В построении используется понятие суперсвязности, введённое Квилленом в
другом контексте. Суперсвязность - это, грубо говоря, связность, в
которую добавили внешние формы произвольных степеней. Мы, на самом деле,
рассматриваем $\bar\partial$-суперсвязность. Доклад основан на
совместной работе с А.Бондалом.
Я расскажу про то, что известно о группах Кремоны Cr_n=Bir(P^n) при n>2. В
основном это свойства
их конечных подгрупп, и свойства соответствующих многообразий Фано и
расслоений Мори, и по большей части
все содержательные утверждения относятся к случаю n=3. Этот доклад можно в
какой-то мере считать продолжением предновогоднего доклада Ю.Г.Прохорова.
February 3, 2012:
Roman Bezrukavnikov (MIT)
Real variation of stability conditions and
noncommutative symplectic resolutions of singularities
I will describe a new variation on the theme of Bridgeland
stability conditions. Our definition arises from consideration of
noncommutative resolutions of Bridgeland stability conditions -- a
particular construction of such resolutions
based on reduction to positive characteristic is motivated by questions of
representation theory. It would interesting to describe the mirror dual
counterpart of our data.
February 10, 2012:
Александр Буфетов (МИАН, ИППИ РАН, НИУ ВШЭ)
Размерность представлений симметрических групп и гипотеза
Вершика-Керова
Как растут размерности неприводимых представлений симметрических групп
S(n) при посте n?
Вершик и Керов выдвинули в 1985 г. гипотезу, что "большинство"
представлений имеют "примерно одинаковую" размерность. Более формально,
гипотеза Вершика-Керова утверждает, что логарифм размерности неприводимого
представления симметрической группы, после естественной нормализации,
сходится к константе по мере Планшереля. По аналогии с теоремой
Шеннона-Макмиллана-Бреймана теории информации Вершик и Керов назвали
гипотетическую константу энтропией меры Планшереля.
В докладе, не предполагающем у слушателей никакого знакомства с сюжетом,
будет рассказано доказательство гипотезы Вершика-Керова.
В докладе рассматривется структура группы
диффеотопий (<=> диффеоморфизмы по модулю изотопий)
раздутий CP^2. Основная теорема: если диффеоморфизм F
такого многообразия X сохраняет какую-то симплектическую форму
\omega и гомотопически тривиален, то он изотопен тождественному
диффеоморфизму.
Даётся описание структуры группы диффеотопий раздутий CP^2.
Кроме того, расматривается также строение группы симплектотопий
(<=> симплектоморфизмы по модулю симплектических изотопий,
``symplectic mapping class group'') раздутий CP^2.
February 24, 2012:
Юрий Неретин (University of Vienna, Institute for Theoretical and Experimental Physics)
Спектральные данные для многих матриц и умножение двойных классов смежности на бесконесномерных группах
Обсуждаются вопросы такого типа. Есть $k$ унитарных матриц размера $\alpha+N$
определенных с точностью до общего сопряжения унитарной матрицей размера $N$.
Или дана унитарная группа $U(\alpha+kN)$. В нее блочно-дигонально вложена унитарная группа $U(N)$.
Рассматриваются двойные классы смежности. Предлагаютя описания (или квазиописания) таких объектов.
Оказывается, что при $N=\infty$ на такого рода факторах имеется естественное умножение.
Естественное в том смысле, что в смысле теории представлений эти полугруппы ведут себя как алгебры Гекке.
Оказывается, что эти полугруппы можно интерпретировать как полугруппы рациональных отображений
грассманиана в грасcманиан, с поточечным умножением в смысле соответствий.
March 2, 2012:
Дмитрий Маркушевич
Древовидная компактификация пространства модулей векторных расслоений ранга 2 на проективной поверхности
Пространство модулей векторных расслоений ранга 2 на неособой алгебраической
поверхности S имеет несколько компактификаций, построенных различными методами,
например, компактификация Гизекера. Точки компактификации Гизекера представляют
классы S-эквивалентности полустабильных пучков на S.
Древовидная компактификация позволяет упростить характер пучков, которые
возникают на границе, заменив их на векторные расслоения, но усложняет базу: исходная
поверхность S должна быть раздута в дерево поверхностей.
Определяется функтор модулей векторных расслоений ранга 2 на деревьях
поверхностей с корнем S и доказывается, что этот функтор имеет грубое пространство модулей,
являющееся отделимым алгебраическим пространством конечного типа.
Конструкция этого пространства модулей использует вложения в конфигурационные пространства
Фултона-Макферсона и факторизацию по действию линейной группы.
Это совместная работа с Тихомировым и Траутманном.
March 16, 2012: Леонид Рыбников (HSE)
Многообразия Ломона и теория представлений (по совместным
работам с Б.Фейгиным, М.Финкельбергом, И.Френкелем и А.Негутом)
Многообразия Ломона предствляют собой неособые компактификации
пространств отображений проективной прямой в пространство флагов типа
A_n. Мы строим действие янгиана алгебры Ли gl_n в локализованных
эквивариантных когомологиях многообразий Ломона при помощи некоторых естественных
соответствий. Это дает описание кольца когомологий многообразия Ломона
в терминах теории представлений алгебры Ли gl_n и объясняет появление
цепочки Тоды в квантовых когомологиях пространства флагов.
Естественное обобщение этой конструкции на аффинные алгебры Ли типа
A_n описывает, в частности, эквивариантные когомологии многообразий
Гизекера.
March 23, 2012:
Тарас Панов (мех-мат МГУ)
Комплексная и лагранжева геометрия момент-угол-многообразий
Момент-угол-комплексы Z_K представляют собой пространства с
действием тора, параметризуемые конечными симплициальными
комплексами K. Они являются одним из основных объектов
исследования в торической топологии. Благодаря их комбинаторному
происхождению, момент-угол-комплексы находят приложения в
комбинаторной геометрии и коммутативной алгебре.
Момент-угол-комплексы, соответствующие триангуляциям сфер,
являются многообразиями с интересной и богатой геометрией.
Оказывается, что момент-угол-многообразия Z_K, соответствующие
полным симплициальным веерам (т.е. для которых K имеет звёздчатую
реализацию) допускают некэлеровы комплексно-аналитические
структуры. В качестве частных случаев получаются известные
семейства многообразий Хопфа и Калаби-Экманна. Дано описание групп
когомологий Дольбо комплексных структур на Z_K, и явно вычислен
ряд чисел Ходжа в малых размерностях. Это вычисление основано на
применении спектральной последовательности Бореля к голоморфным
главным расслоениям Z_K над торическими многообразиями.
В работе А.Миронова были построены новые семейства
гамильтоново-минимальных (H-минимальных) лагранжевых
подмногообразий в C^m и CP^m на основе невырожденных пересечений
вещественных квадрик. Те же самые пересечения квадрик являются
одной из реализаций момент-угол-многообразий Z, соответствующих
выпуклым многогранникам. Лагранжевы подмногообразия N в C^m,
получаемые из пересечений квадрик, обладают следующими
топологическими свойствами: каждое N вкладывается как
подмногообразие в соответствующее момент-угол-многообразие Z, и
каждое N является пространством двух расслоений, первое - над
тором T^{m-n} со слоем вещественное момент-угол-многообразие R, а
второе - со слоем тор над факторпространсвом R по конечной группе.
Эти свойства использованы для построения новых примеров
гамильтоново-минимальных лагранжевых подмногообразий со сложной
топологией и их топологической классификации в случае малого числа
квадрик.
Доклад основан на совместных работах с В.М.Бухштабером,
А.Мироновым и Ю.Устиновским.
Я расскажу о классической задаче поиска наиболее плотной упаковки одинаковых
шаров в евклидовом пространстве. Эта задача оказывается связана с
алгебраической геометрией и теорией чисел и порождает целый ряд
естественных, но зачастую трудных открытых вопросов в этих науках. В
частности, приходится изучать асимптотическое поведение дзета-функций кривых
и числовых полей при росте рода.
Многообразия флагов образуют важный класс проективных алгебраических
многообразий. Эти многообразия интересны как с точки зрения алгебраической
геометрии, так и в связи с важной ролью, которую они играют в теории
представлений простых алгебр Ли. В частности, многообразия флагов могут быть вложены
в проективизации конечномерных неприводимых представлений. Оказалось, что все описанные
выше структуры допускают вырождение, приводящее к новым интересным структурам в
теории представлений, алгебраической геометрии и комбинаторике. С алгебро-геометрической
точки зрения, важную роль при вырождении играет действие абелевой унипотентной группы --
произведения нескольких копий аддитивной группы поля. Мы дадим явное описание этого вырождение для
группы SL(n) и сформулируем имеющиеся теоремы и гипотезы о возникающих в теории объектах.
Работы в арифметической геометрии, нацеленные на понимание дзета
функций арифметических поверхностей привели к пониманию существования
двух различных адельных структур на поверхностях: коранга 1 и коранга
2. Первая имеет различные (классические) геометрические контексты и
связи, в частности с 1-циклами и группой Пикара, вторая связана с
дзета фунцией и 0-циклами, группой Чжоу нуль циклов, и по ней можно
интегрировать. Изучение связей между двумя структурами интересно по
многим причинам, например, равенство геометрического и аналитического
рангов эллиптической кривой над глобальным полем, часть знаменитой
гипотезы Берча и Свиннертона Дайера, можно переформулировать как более
глубокую связь между геометрической и аналитической структурами на
поверхности, которую однако должно быть легче доказать, чем работая на
уровне рангов как в предудущих подходах в частных случаях к БСД
гипотезе. В. Дринфельд задал вопрос о геометрическом понимании
аналитической структуры, что означает в частности, новую расширенную
алгебраическую геометрию на поверхностях. О ее ожидаемых свойствах
пойдет речь в докладе.
April 20, 2012:
Наталья Гончарук (НМУ, МГУ,
Числа вращения и модули эллиптических кривых
Каждому гомеоморфизму окружности можно поставить в соответствие
вещественное число -- его число вращения.
В 1978 году В. И. Арнольд предложил комплексный аналог числа вращения. Пусть
f -- аналитический диффеоморфизм окружности |z|=1, a -- комплексное число,
0<|a|<1. Склеим границы кольца |a|<|z|<1 по отображению af. Модуль полученной
эллиптической кривой и называется комплексным числом вращения отображения
af.
В докладе будут рассказаны результаты, касающиеся предельного поведения
комплексного числа вращения вблизи единичной окружности |a|=1.
Комплексное число вращения не определено на единичной окружности,
но его можно продолжить по непрерывности на эту окружность (результат
Ксавье Бюффа и докладчика). Образ единичной окружности оказывается фрактальным
множеством, и его геометрическая структура еще не изучена.
Let X be a smooth projective Berkovich space over a
complete discrete valuation field K of residue
characteristic zero, endowed with an ample line bundle
L. We introduce a general notion of (possibly singular)
semipositive (or plurisubharmonic) metrics on L, and prove
the analogue of the following two basic results in the
complex case: the set of semipositive metrics is compact
modulo constants, and each semipositive metric is a
decreasing limit of smooth semipositive ones.
Let further m be a positive measure on X and L be an ample
line bundle such that the mass of m is equal to the degree
of L. Then we show the existence a continuous semipositive
metric whose associated measure is equal to m in the sense
of Zhang and Chambert-Loir.
May 11, 2012:
Herbert Kurke
Commuting differential operators and higher-dimensional algebraic varieties
I will report on joint work with D. Osipov and A. Zheglov.
We consider germs of LDO (linear differential operators), with analytic or
formal coefficients, in several variables. In the case of one variables
there is a well understood correspondence between the following subjects:
(1) commutative subrings of the ring of germs of LDO (containing an
elliptic operator)
(2) algebraic curves (or compact Riemann surfaces) with additional
holomorphic data
(3) KP-hierarchy, i.e, system of non-linear PDE, which containesd the
classical KP-equation (it appears as Master-equation for isospectral
deformations of (1)).
We try to understand an analogue correspondence in case of several
variables, where algebraic curves are to be replaced by higher-dimensional
varieties. It was initiated by Parshin (in particulare the analogue
of (3)).
May 18, 2012:
Anton Zorich (IRMAR, Universitè de Rennes)
Поверхности в клеточку, циклические накрытия и показатели Ляпунова
Поверхности в клеточку - это разветвленные накрытия над тором, у которых
все точки
ветвления проецируются в одну и ту же точку тора. В определенном смысле,
такие плоские
поверхности в клеточку задают целые точки в пространстве модулей
абелевых дифференциалов.
Каждая поверхность в клеточку порождает арифметическую тейхмюллерову
кривую - замкнутую
комплексную геодезическую в метрике Тейхмюллера на пространстве модулей
кривых.
В первой части доклада я попробую рассказать общие сведения о плоских
поверхностях и
о геометрии и динамике в пространстве модулей абелевых дифференциалов.
Потом я расскажу о
нескольких волшебных семействах поверхностей в клеточку (циклических
разветвленных накрытиях
над сферой), для которых геометрия и динамика оказывается особенно
прозрачной и познаваемой.
Содержание второй части доклада - совместная работа с Максимом
Концевичем и с Сашей Эскиным.
May 25, 2012:
Марина Прохорова
(Институт Математики и Механики
Уральского Отделения РАН и Лаборатория
Алгебраической Геометрии),
"Нестандартный анализ и идеалы"
Я расскажу про один из подходов к построению нестандартного анализа: теорию
внутренних множеств (IST = Internal Set Theory) Эдварда Нельсона. Это
аксиоматический подход, добавляющий к обычной аксиоматике теории множеств
новый предикат "стандартности", а также три дополнительные аксиомы
(идеализации, стандартизации и переноса), регулирующих взаимоотношения
этого предиката с "обычной" теорией множеств. При этом все теоремы
"обычной" математики остаются верными, но у нас появляется дополнительный
инструмент для их доказательства, а также расширяются выразительные
возможности языка.
После этого я планирую рассказать несколько сюжетов нестандартного анализа,
связанных с идеалами:
-
1. Идеалы в кольце F конечных вещественных чисел.
- 2. Для каких идеалов J кольца F существует функция, выбирающая по одному
элементу из каждого класса смежности F/J?
- 3. Описание простых идеалов в кольцах непрерывных/гладких/... функций в
терминах нестандартного анализа.
June 1, 2012:
Dan Popovici (Institut de Mathematiques de Toulouse)
Transcendental Kaehler Cohomology Classes and Deformation Theory
It has long been conjectured that the deformation limit of
a holomorphic family of compact Kaehler manifolds will be a class C
manifold (i.e. bimeromorphically equivalent to a compact K?hler
manifold). If confirmed, this expectation will be optimal since
an example of Hironaka shows that the limit fibre need not be
Kaehler. In a strategy aimed at proving this statement, which has
already led very recently to the resolution of the algebraic case,
we have only one major difficulty left: the resolution of Demailly's
conjecture on transcendental Morse inequalities. We will present
very recent results in this direction, such as an almost holomorphic
embedding theorem for compact Kaehler, possibly non-projective,
manifolds into complex projective spaces (the non-integrable analogue
of the Kodaira embedding theorem).
June 7, 2012: Joseph
Bernstein (Tel-Aviv)
"Representation theory and bounds for automorphic periods"
(joint work with A. Reznikov; Thursday, 18:30).
Joint session with the seminar "Geometric
structures on manifolds"
I will talk about new methods that use representation
theory of real reductive groups to give some highly non-trivial
estimates of periods of automorphic functions. I will also try to
explain why these estimates are important in number theory.
The talk will be essentially elementary - I will deal only with
representations of the group SL(2,R).
June 8: Ljudmila Kamenova
(SUNY Stony Brook)
"Hyper-Kahler manifolds and Abelian fibrations"
In this talk we define compact hyper-Kahler manifolds (i.e.,
holomorphic symplectic manifolds) and exhibit some of their properties.
Next we shall consider possible fibration structures of hyper-Kahler
manifolds. We relate certain Abelian fibrations to Hilbert schemes.
The talk deals with the classification of holomorphic
affine and projective connections on compact complex
surfaces. We will also discuss classification results for
compact complex surfaces locally modelled on complex
homogeneous spaces (the last part is a joint work with
Benjamin McKay).
June 22, 2012: Саша Ананьин (UNICAMP, Brazil)
Пространство Тейхмюллера для детей до и после 18
Я начну с "идиотской" детской задачи про 3 точки. Обсуждая
эту задачу, мы откроем "на ровном месте" инвариант Толедо,
пространство Тейхмюллера H гиперэллиптических (а потом и
всех, T) римановых поверхностей, увидим почему справедлива
теорема жесткости Голдмана-Толедо (которая даёт простой и
эффективный критерий дискретности группы поверхности
действующей на диске Пуанкарэ) и, притворяясь, что
произвольная риманова поверхность является
гиперэллиптической, обнаружим "удивительное" (и, в
некотором смысле, даже рациональное) вложение T->HxH.
При помощи "улитки" Картана, которой удается выжить в
псевдоэрмитовом пространстве, попытаемся определить
дискретные инварианты типа Толедо для гиперэллиптической
дискретной группы действующей на голоморфном
2-шаре. Сформулируем несколько интересных гипотез про
такие группы и их пространство Тейхмюллера и (между делом)
решим старую проблему о существовании геометрии, которая
локально является геометрией голоморфного 2-шара, на
тривиальном расслоении DxS на диски над поверхностью S
рода >1.
Если останется время, решим и "идиотскую" задачу для
голоморфного 2-шара.
June 29, 2012: Lucia Di Vizio (Versaille, CNRS)
Galois theory of difference equation and differential transcendence
I will explain how the parameterized
Galois theory of difference equations gives a systematic approach to
differential transcendence. As an example I will give a Galoisian
proof of Holder theorem for Euler Gamma functions. These results are
contained in a work by C. Hardouin and M. Singer.
I will, then, speak of a joint work with C. Hardouin about
differential relations of solutions of q-difference equations.
July 6, 2012:
Федор Богомолов (Courant Institute, Лаборатория алгебраической геометрии)
Группы подстановок и проективные группы
В докладе будет рассказано доказательство следующего результата:
Рассмотрим проективное пространство $P^n$, $n\geq 2$, над полем $k$, и
группу, порожденную $PGL(n,k)$ и любым дополнительным элементом $h$,
который не является коллинеацией, т.е сушествует прямая $P^1\subset P^n$
образ которой $h(P^1)$ не содержится в какой-либо прямой в $P^n$
Тогда подгруппа $G$ в группе постановок на множестве элементов
$P^n$, порожденная $PGL(n,k)$ и $h$, транзитивна для
любого $N$, которое меньше, чем число элементов в $P^n(k)$ минус 1
В частности если поле $k$ бесконечно, то группа $G$
бесконечно транзитивна.
Это совместная работа с Ровинским.
July 13, 2012:
Константин Шрамов (МИРАН, Лаборатория алгебраической геометрии)
Lifting rationally connected varieties via extremal contractions
Я расскажу про технику (восходящую к Хэйкону и
МакКернану), позволяющую доказывать следующее утверждение:
пусть есть эквивариантное экстремальное стягивание f:X->Y
между проективными многообразиями с действием конечной
группы G, и в Y выбрано рационально связное G-инвариантное
подмногообразие T; тогда в X существует G-инвариантное
рационально связное подмногообразие, которое доминирует
T. Также я расскажу о применении этого утверждения к
изучению групп бирациональных автоморфизмов многомерных
рационально связных многообразий, недавно полученном
совместно с Ю.Г.Прохоровым.
July 20, 2012:
Рина Анно (UMass, Amherst)
От -2-кривых к флопу Мукаи: автоэквивалентности производных категорий пучков
Я буду рассказывать про действия группы кос на производных категориях
когерентных пучков на гладких алгебраических многообразиях. (На самом
деле используемые техники работают также на более общих схемах, а
также для любого дискретного действия группы, но я буду разбирать два
классических примера, где группа -- это косы, а многообразия --
гладкие над С). В первом случае речь пойдет о кривых с индексом
самопересечения -2 на гладкой поверхности S; каждая такая кривая
задает автоэквивалентность категории D(S), и эти функторы
удовлетворяют соотношениям группы кос, если соответствующие кривые
пересекаются в одной точке. Флоп Мукаи -- бирациональное отображение
f: T*P^2 -> T*P^2, обладающее любопытным свойством: минимальное
разрешение f (диаграмма T*P^2 <- X -> T*P^2, где оба отображения
X->T*P^2 -- раздутия P^2) не индуцирует эквивалентность категорий, но
между тем эквивалентность, совместимая с f, существует. Эта
"неправильность" обуславливает соотношение для образующих действия
группы кос на D(T*Fl_n). Основная цель доклада -- описать общую в
обоих примерах структуру, которая возникает на производной категории.
Доклад основан на совместной работе с Т. Логвиненко.
August 3, 2012: Lukas Markus Koehler
(Courant Institute)
The CR embedding problem in dimension three
CR-structures are a natural extension of properties of complex structures
to odd dimensional real manifolds. On real hyper-surfaces lying in some
complex manifold we can induce the decomposition of the tangent bundle
defining the complex structure. This defines a CR-structure if additionally
an integrability condition is satisfied. Strictly pseudoconvex CR-manifolds
have CR-structures induced locally by an embedding, the question arises
whether a global embedding exists? Surprisingly, the answer is no in
dimension 3 and yes for all higher odd dimensions. In this talk we will
investigate what happens in dimension three by examining the moduli space
of CR-structures on the 3-sphere.
August 10, 2012: Jordan Thomas (Courant Institute)
Symmetric Differentials on Singular Surfaces and Hyperbolicity
On a complex projective surface of general type, it is believed
that outside a proper Zariski closed subset, the canonical degree of
irreducible curves of fixed geometric genus is bounded. This holds, for
example, when the cotangent bundle is big, i.e. there are many symmetric
differentials. This is the case when the Chern numbers satisfy c_1^2 > c_2,
but there are other examples, such as the minimal resolutions of
sufficiently nodal surfaces in P3. We review the notion of reflexive
sheaves on singular surfaces and show how to use these sheaves to derive
results about the presence of symmetric differentials on nodal surfaces (and
their resolutions). These techniques also have a place in understanding
rational curves on smooth surfaces. These curves can be contracted to
obtain a singular surface, and inequalities involving invariants of the
reflexive sheaves on the singular surface allow one to investigate the
behavior of the canonical degree of the rational curves on the original
surface. These techniques will be discussed together with specific
calculations and possible extensions.
August 17, 2012: Christian Boehning
On the derived category of the classical Godeaux surface
We construct an exceptional sequence of length 11 on the classical Godeaux
surface X which is the Z/5-quotient of the Fermat quintic surface in P^3.
This is the maximal possible length of such a sequence on this surface
which has Grothendieck group Z^11+Z/5. In particular, the result answers
Kuznetsov's Nonvanishing Conjecture, which concerns Hochschild homology of
an admissible subcategory, in the negative. The sequence carries a
symmetry when interpreted in terms of the root lattice of the simple Lie
algebra of type E_8. We also produce explicit nonzero objects in the
(right) orthogonal to the exceptional sequence. If time permits, we will
include some speculations on phantom categories on the Barlow surface.
August 21, 2012: Shing-Tung Yau
Period Integrals, Counting Curves and Mirror Symmetry
In the talk, some problems related to period integrals
of Calabi-Yau and general type complete intersections
will be considered. A new idea for solving these problems,
namely tautological systems, will be discussed.
Some relations to problems in string theory
(Yukawa coupling, counting curves in Calabi-Yau
threeefolds, SYZ conjecture and T-duality) will
also be considered.
The game of war is one of the most popular international children's
card games. In the beginning of the game, the pack is split into two parts,
then on each move the players reveal their top cards. The player having
the highest card collects both and returns them to the bottom of his hand.
The player left with no cards loses. It is often wrongly assumed that
this game is deterministic and the result is set once the cards have been
dealt.However, it is not quite so; as the rules of the game do not prescribe
the order in which the winning player will put his take to the bottom of
his hand: own card, then rival's or vice versa: rival's card, then own. We
provide an example of a cycling game with fixed rules. Assume now that
each player can seldom but regularly change the returning order. We have
managed to prove that in this case the mathematical expectation of the
length of the game is finite. In principle it is equivalent to the graph of
the game, which has got edges corresponding to all acceptable transitions,
having got the following property: from each initial configuration there is
at least one path to the end of the game.
We demonstrate the isomorphism of the equivariant quantum
cohomology of the cotangent bundle to the Grassmanian
manifold Gr(N,L) and the ring of quantum integrals of
motion of the length L SU(2) XXX spin chain, in the
N-particle sector.
We construct an exceptional collection of
maximal possible length 6 on any of the Burniat
surfaces with $K_X^2=6$, a 4-dimensional family of
surfaces of general type with $p_g=q=0$. We also
calculate the DG algebra of endomorphisms of this
collection and show that the subcategory generated by
this collection is the same for all Burniat surfaces.
September 10, 2012 (понедельник, 17.30, ауд. 209 (2й этаж)):
Юрий Манин (MPIM Bonn)
F_1: математический объект в
поисках определения
Несуществующее "поле из
одного элемента" (или, более общо, "поля
характерстики один") периодически возникало
за сценой в математической литературе,
например, как идея о том,
что симметрические группы - это линейные
группы над таким полем.
За последние десять-пятнадцать лет
произошла вспышка исследовательской
активности в этой области.
В докладе будет набросана картина этой
деятельности и достигнутых
результатов.
September 14, 2012 (17.30, ауд. 1001):
Arend Bayer, Edinburgh University
Birational geometry of moduli of sheaves on K3s via Bridgeland stability
I will explain how to obtain results on the birational geometry of moduli of
sheaves on K3s from wall-crossing for Bridgeland stability conditions. In
particular, I will explain characterizations of their nef cones via the Mukai lattice
of the K3, their moveable cones, their divisorial contractions. This is based on joint work
with Emanuele Macri.
September 21, 2012: no seminar because of the conference
Workshop on complex geometry and foliations,
dedicated to the memory of Marco Brunella.
September 28, 2012: Дмитрий Клейнбок
Диофантовы приближения на многообразиях и траектории на
пространстве решеток
Если аналитическая кривая в R^n "неплоская", то почти все ее точки "не
слишком хорошо приближаемы рациональными". Это - гипотеза Спринджука
(1980), доказанная в нашей совместной работе с Маргулисом (1998) с помощью
динамики на пространстве решеток. Я объясню что означают термины, взятые в
кавычки, расскажу как связаны орбиты решеток с диофантовыми приближениями,
и изложу схему доказательства. Недавно этот результат был обобщен для
кривых в пространстве матриц, и описание "неплоскости" в этом случае
приводит к интересной и пока нерешенной геометрической задаче, которую я
попробую обсудить, если останется время. Никаких предварительных знаний
эргодической теории или теории чисел не предполагается.
October 5, 2012: Marat Rovinsky (HSE and IITP)
Collineation group as a subgroup of the symmetric group
Пусть H - подгруппа в группе перестановок точек
проективного пространства P^n(k) размерности n больше 2.
Предположим, что H содержит группу PGL(n,k) и какой-то
элемент, который переводит три коллинеарные точки
в неколлинеарные. Тогда H транзитивна на подмножествах
из N точек в P^n(k), где N меньше, чем число точек в P^n(k).
Это совместная работа с Ф. Богомоловым.
October 12, 2012: Dmitry Sustretov (Ben-Gurion University)
Model-theoretic field reconstruction theorems and an abstract Torelli theorem of
Bogomolov-Korotaev-Tschinkel
Let C be a smooth curve. The Jacobian variety J(C) is the moduli space
of degree 0 divisors on C; it is an Abelian variety. One can define an
embedding of C into J(C) which depends on a choice of a point on
C. Consider two smooth curves, C_1 and C_2, of genus >= 2, defined
over the algebraic closure of a finite field F_p^alg, p >= 3, and
consider the groups of F_p^alg-rational points of J(C_1) and J(C_2)
with rational points of C_1 and C_2 as distinguished subsets. If there
exists an isomorphism f of J(C_1) and J(C_2) as abstract groups under
which C_2 is a shift of C_1 then f comes from an isogeny between
J(C_1) and J(C_2) (Bogomolov, Korotaev and Tshinkel, 2009). I will
present an overview of the model-theoretic proof of this theorem
(after B. Zilber), modulo the so-called Relative Trichotomy
conjecture. The proof is in fact valid over an arbitrary algebraically
closed field (of any characteristic). I will also give an overview of
the Relative Trichotomy conjecture which can be seen as a
generalisation of classical field reconstruction theorems in abstract
projective geometry.
The classical Calabi conjecture proven by Yau gives a criterion for a
Kaehler manifold to be Ricci-flat. It is stated that in order to obtain
Ricci-flat metric one can deform Kaehler structure. This follows from
the existence theorem for the complex Monge-Ampere equation. We state an
analogue of the Calabi conjecture that considers deformation of the
complex structure, whereas the symplectic one is fixed. A new equation
analogous to the complex MA equation is introduced.
October 26, 2012:
Дмитрий Каледин (МИ РАН)
Вектора Витта, от Тейхмюллера до наших дней
Вектора Витта это старый сюжет, который не хочет умирать: он
всплывает каждые 15-20 лет, обычно в новом контексте, часто неожиданном...
что-то вроде романа с продолжением, к которому каждое поколение дописывает
новый том. Я попробую пересказать какие-то куски из этого романа -- от
классической части, принадлежащей собственно Витту, до совершенно недавних
вещей из некоммутативной алгебраической геометрии. При этом по крайней
мере начало рассказа не потребует никаких специальных знаний -- достаточно
хотя бы примерно знать, что такое p-адические числа. Если вы знаете, опять
же в общих чертах, что такое когомологии алгебраических многообразий, вы
поймете больше. Все некоммутативное я объясню.
November 2, 2012, Антон Меллит
Теоремы умножния для дифференциальных уравнений
Совместный проект с В. Голышевым.
Цель доклада - продемонстрировать, как некоторые случаи соответствия
Ленглендса для функциональных полей могут быть проинтерпретированы
достаточно явно и классически. В частности, таким образом возникают
формулы типа Клаузена и теоремы умножения для функций Бесселя. В
качестве приложения мы покажем что наш подход дает естественную
биекцию между решениями задачи Дворка об акцессорном параметре и
автоморфными формами.
November 9, 2012, Anvar Mavlyutov
Deformations of toric varieties
In the 90's, Klaus Altmann constructed deformations of affine
toric varieties as complete intersections in another toric variety using
Minkowski sums of polyhedra. We will show how Altmann's construction can be
generalized using a categorical quotient presentation of a toric variety.
The deformations are realized by families of complete intersections in
Cox homogeneous coordinates. For compact
simplicial toric varieties with at worst Gorenstein terminal
singularities, our deformations span the infinitesimal space of
deformations by Kodaira-Spencer map.
November 16, 2012, Aurelien Galateau
Small points in subvarieties of abelian varieties
This talk will focus on a theorem of Ullmo and Zhang (the former
Bogomolov conjecture) about the repartition of points of small height
in subvarieties of abelian varieties. It is possible to give an
'effective' bound for small points under Serre's conjecture that
primes of ordinary reduction for an abelian variety have density one.
Further, one gets an unconditionnal 'effective' bound in the case of
hypersurfaces. Both proofs use p-adic estimates on torsion points of
abelian varieties and diophantine approximation.
Barth-Van de Ven-Tyurin Theorem claims
that any vector bundle of finite rank on
infinite-dimensional projective space
is isomorphic to a sum of line bundles.
We give a survey of theorem of
Barth-Van de Ven-Tyurin-Sato on the structure of
vector bundles on ind-projective spaces and
ind-Grassmannians and discuss recent results
on its generalizations to various classes
of ind-varieties.
November 30, 2012,
Роман Михайлов (МИРАН)
Гомологии пространств Эйленберга-Маклейна.
По совместной работе с Л. Брином и А. Тузе. Как описать гомологии
пространств Эйленберга-Маклейна как функторы в категории абелевых групп?
Об этом и пойдет речь.
December 3, 2012 (Monday), 17:00, room 209, and December 7, 2012, 17:00, room 1001:
Boris Zilber
Геометрии Зарисского и алгебраическая геометрия.
Геометрии Зарисского возникли в теории моделей как класс
структур удовлетворяющих логическому условию стабильности и несущих
топологию схожую с топологией Зарисского. Во многих случаях (но не
всегда) геометрия Зарисского сводится к алгебраической геометрии. Я
расскажу как, пользуясь соответствующей технологией, получено решение
проблемы, сформулированной в недавней работе Богомолова, Коротаева и
Чинкеля.
December 5-th, 2012 (Wednesday, 17:30, room 1001), Pavel Etingof (MIT)
D-modules on Poisson varieties and Poisson traces
Let V be an affine symplectic algebraic
variety over C, and G a finite group of
automorphisms of V (for example, V is a
symplectic vector space, and G is a subgroup of Sp(V)).
Let A be the algebra of regular functions on V/G, and E be the space
of linear functionals on A which are invariant under
Hamiltonian vector fields on V/G (so called Poisson traces). It turns
out that E is finite dimensional. I will explain how to prove and
generalize this statement, using the theory of D-modules,
and will also describe some applications to noncommutative
algebra. This is joint work with Travis Schedler.
December 14, 2012,
Hendrik Süß (Moscow State University)
Log-canonical thresholds and torus quotients.
The log-canonical threshold of a Fano variety X is an invariant with
applications in birational geometry as well as in Kahler geometry. It is
defined with respect to a certain finite subgroup G of Aut(X). After
choosing a maximal torus T in the automorphism group of our Fano variety
X we would like to reduce the computation of the log-canonical threshold
on X to that of a log-canonical threshold on some torus quotient X=X/T.
As it turns out, this works well if the following conditions are
fulfilled:
- G is contained in the normalizer of the maximal torus,
- the G-action on the characters given by conjugation has the trivial
character as its unique fixed point.
In this situation the T-variety is called symmetric. As an application
we provide a criterion for the existence of Kahler-Einstein metrics on
symmetric Fano T-varieties of complexity one.
December 19, 2012 (Wednesday, 17:00, room 1001),
Pierre
Deligne (IAS)
l-adic local systems on varieties over finite fields
l-adic local systems on varieties over finite fields are
arithmetically interesting, essentially independent of l, and I will
give evidence beyond that given by Drinfeld in 1981 that their number
(suitably defined) is given by a formula of Lefschetz type.
December 21, 2012,
Vadim Vologodsky
(University of Oregon)
Noncommutative Local Monodromy Theorem
Let X\to D^* be a family of
smooth projective varieties over the punctured disk.
The Griffiths-Landman-Grothendieck ``Local Monodromy Theorem'' asserts that
the Gauss-Manin connection on the de Rham cohomology H^*_{DR}(X/D^*) has a
regular singularity at the origin and that the monodromy of this
connection is quasi-unipotent. I will discuss a noncommutative
generalization of this result,
where the de Rham cohomology is replaced by the periodic cyclic homology of
a smooth proper DG algebra over D^* equipped with the Gauss-Manin-Getzler
connection.
This talk is based on a joint work with Dmitry Vaintrob.
December 24, 2012, (Monday, 18:30, room 1001):
Vladimir Dotsenko (Trinity College, Dublin)
Шафл-операды и эффективная гомотопическая алгебра
Для того, чтобы изучать разные вопросы
линейной/гомологической/гомотопической алгебры для ассоциативных
алгебр, заданных образующими и соотношениями, существует машина под
названием "базисы Грёбнера", которая основана на двух банальных
наблюдениях, что были хорошо известны классикам задолго до того, как
базисы Грёбнера были определены: 1) для каждой алгебры, заданной
образующими и соотношениями, есть алгебра "такого же размера", в
которой соотношения мономиальные и 2) если у алгебры соотношения
мономиальны, то работать с ней легко и приятно, а если нет, то решать
разные вопросы про алгебру можно с помощью их первоначального решения
для упомянутой "мономиальной замены". Важным часто используемым
обобщением понятия ассоциативной алгебры является понятие операды;
если принять, что ассоциативная алгебра описывает абстрактные свойства
линейных преобразований какого-нибудь векторного пространства
относительно композиции, операда описывает свойства, которым
удовлетворяют мультилинейные операторы относительно композиций и
перестановок аргументов. Я напомню необходимые определения, объясню,
почему операд с мономиальными соотношениями слишком мало, чтобы они
были для чего-то полезны, и расскажу, как с этой проблемой бороться.
Ключевая идея состоит в том, что нужно расширить понятие операды до
"шафл-операды", добавив изрядное количество операд, которые на первый
взгляд "не имеют физического смысла". Одно из занятных приложений этих
методов - решение гомологическими методами некоторых задач
перечислительной комбинаторики, которые специалисты по
перечислительной комбинаторике решать не умели.
December 28, 2012, (16:00--19:00, room 1001):
Ivan Losev
(Northeastern University)
Расслоения Прочези
Я расскажу о расслоениях Прочези на схемах Гильберта точек на $\C^2$,
глубоко нетривиальных объектах с вагоном замечательных свойств.
Этот цикл из двух докладов полностью независим от предыдущего.
"Детский доклад": расслоения Прочези.
Полиномы Шура -- это очень старый и очень классический
объект, названный в честь великого белорусского
математика Исайи Шура. Это симметрические многочлены с
коэффициентами в $\mathbb{Z}$, которые параметризуются
разбиениями, играющие очень важную роль в комбинаторике
и теории представлений. Они допускают несколько
классических "однопараметрических деформаций": многочлены
Холла-Литтлвуда (которые появляются при описании
характеров $\operatorname{GL}$ над конечным полем), или
многочлены Джека. Под "однопараметрической деформацией"
мы понимаем симметрические полиномы с коэффциентами в
$\mathbb{Z}[t^{\pm 1}]$, которые становятся полиномами
Шура, если положить $t=1$. Существует
двух-параметрическая деформация (симметрические полиномы
с коэффициентами в $\mathbb{Z}[q^{\pm 1},t^{\pm 1}]$)
полиномов Шура -- так называемые полиномы Макдональда,
которые при разных специализациях $q$ дают как полиномы
Холла-Литтлвуда, так и полиномы Джека. Это очень
интересный, и, вместе с тем, очень сложный объект, даже
базовые свойства оказываются глубоко
нетривиальными. Скажем гипотеза положительности
Макдональда утверждает, что коэффициенты этих многочленов
лежат в $\mathbb{Z}_{\geqslant 0}[q^{\pm 1}, t^{\pm
1}]$. Эта гипотеза была доказана Хайманом в 2001-ом году
с использованием алгебраической геометрии и
комбинаторики, и несколько раз передоказывалась разными
авторами с тех пор.
Клейновы особенности -- это не менее классический
объект. В определенном смысле, это самые простые, но очень
интересные особые двумерные многообразия. Они получаются
факторизацией $\C^2$ по действию конечной подгруппы
$\Gamma$ в $\operatorname{SL}_2(\C)$. Наука учит, что
особые многообразия надо заменять на разрешения
особенностей, и у клейновых особенностей такие разрешения
есть, и даже двух разных видов. Мы можем взять минимальное
разрешение особенностей в смысле алгебраической геометрии,
а есть разрешение в смысле некоммутативной алгебры,
косогрупповое кольцо $\C[x,y]\#\Gamma$. Возникает вопрос:
а что у этих двух разрешений общего. Ответ на этот вопрос
известен -- они имеют одинаковые производные категории
модулей, он был получен в этой форме Капрановым и Вассеро.
Система Калоджеро-Мозера -- несколько менее классический
объект. Это система точек одинаковой массы на прямой,
которые взаимодействуют друг с другом с потенциалом
обратно пропорциональным квадрату расстояния. Попытка
описать траектории и найти первые интегралы этой системы
приводит к алгебраическим многообразиям, называемым
пространствами Калоджеро-Мозера, и некоммутативным
алгебрам -- рациональным алгебрам Чередника.
Прочитав эти три параграфа, читатель может задаться
вопросом: зачем сводить вместе три не связанных друг с
другом темы из совершенно разных разделов математики?
Суть, однако, в том, что эти три темы связаны, и если
пытаться в двух словах описывать эту связь, то получится
заглавие этого доклада. А сам доклад будет посвящен
описанию этой связи с помощью большего числа слов.
{\it Пререквизиты}: "... г-главное не б-б-бояться...".
"Взрослый доклад": единственность для расслоений Прочези.
Под расслоением Прочези я буду понимать расслоение на
$\operatorname{Hilb}_n(\C^2)$, схеме Гильберта $n$ точек
на $\C^2$, которое задается аксиоматически, наиболее
важные условия -- это ограничения на пучок
эндоморфизмов. Построение такого расслоения -- глубоко
нетривиальная задача, по счастью уже решенная -- Хайманом,
Безрукавниковым и Калединым, Гинзбургом (в хронологическом
порядке) с использованием разнообразных методов. В этом
докладе я расскажу о своей текущей работе о том, как
используя алгебры Чередника, доказать что расслоений
Прочези всего два и установить некоторые их свойства.