Тропическая планиметрия, витрувианские треугольники и симплектическая
экзотика
Г. Михалкин(Женева)
Резюме
Тропическая плоскость -- это вещественная плоскость, оснащённая
геометрической структурой, инвариантной, относительно линейного действия
обратимых целочисленных 2х2-матриц, а также любых вещественных
параллельных переносов. В ней определены прямые с рациональном наклоном,
расстояния между точками такой прямой, а также углы между такими
прямыми. Как и на Евклидовой плоскости (ср. "Египетские треугольники"
соответствующие Диофантову уравнению a^2+b^2=c^2), на тропической
плоскости есть выделенные классы особенно изящных многоугольников,
например, треугольники Маркова, соответствующие Диофантову уравнению
a^2+b^2+c^2=3abc (уравнения, рассмотренному Марковым ещё в 19 веке, но
снова возникшему в 21 веке, при описании вырождений проективной
плоскости у Прохорова-Хакинга, и симплектической интерпретации таких
вырождений у Галкина-Уснича).
Мы определим "витрувианские многоугольники" на тропической плоскости (их
класс включает в себя и треугольники Маркова, и так-называемые
"многоугольники Дельзанта"), а также рассмотрим связь между этими
многоугольниками и симплектической геометрией шаров, кубов и торов.