Летняя математическая школа «Алгебра и геометрия»

О-минимальные структуры и теория Ходжа

А. Солдатенков (МИАН)

Резюме

Полуалгебраические множества, то есть подмножества евклидова пространства, задаваемые конечными наборами полиномиальных уравнений и неравенств, обладают в некотором смысле ограниченной, или "ручной", геометрией и топологией. Например, такие подмножества имеют конечное число компонент связности, их граница устроена достаточно хорошо (является подмножеством того же типа), их размерность корректно определена, и так далее. Подобными свойствами обладают и более общие наборы подмножеств евклидова пространства, которые называются о-минимальными структурами. О-минимальные структуры в некотором смысле реализуют идею Гротендика о построении ручной топологии, изложенную им в известном очерке "Esquisse d'un programme". В последнее время теория о-минимальных структур с успехом применяется в теории Ходжа и других областях алгебраической геометрии. Наша цель - познакомиться с этим кругом идей и обсудить одно из упомянутых приложений к теории Ходжа, а именно новое доказательство алгебраичности ходжевых локусов, данное Бэкером, Клинглером и Цимерманом. Речь пойдет о поляризованных вариациях структур Ходжа над квазипроективной базой. Ходжевым локусом называется множество точек базы, над которыми соответствующая структура Ходжа имеет больше ходжевых классов, чем над общей точкой. Теорема утверждает, что ходжев локус является счетным объединением алгебраических многообразий.
Литература:
[1] B. Bakker, O-minimality and Hodge theory, notes based on the Felix Klein lectures, 2019
[2] B. Bakker, B. Klingler, J. Tsimerman, Tame topology of arithmetic quotients and algebraicity of Hodge loci, J. Amer. Math. Soc. 33 (2020), 917--939
[3] L. van den Dries, Tame topology and o-minimal structures, LMS Lecture Note Series, Vol. 248, Cambridge University Press, 1998